藝術素人的理工人「心賞」吳寬瀛之幾何藝術(下) 田園記趣系列(8) 王飛龍 Dragon

 藝術素人欣賞吳寬瀛作品(下)                                                王飛龍 Dragon

 

     徐志摩在其散文《「數大」便是美》中，感嘆：「……數大便是美」，但引起我注意的是下一段話：「數大了似乎按照著一種自然律，自然的會有一種特別的排列，一種特別的節奏，一種特殊的式樣，激動我們審美的本能，激發我們審美的情緒。」，它描述了自然界中規律的美，似乎和之後所學的，描述大自然的複雜結構的非線性現象的「碎形(fractal)幾何」，相互呼應。自然界裡的雲、山脈、海岸線、閃電、雪片、植物的根、身體的血管分布、多種蔬菜（如花椰菜和西蘭花）和動物的毛皮的圖案等等，這些大自然的外貌、結構是經由非線性動力過程所造成的結果，因為它具有無窮細小的結構，不放大來看，無法知道它的細部形狀，等放大看到了，我們才驚嘆其結構之精巧漂亮，超乎每個人的想像能力，這就是碎形的魅力，我們也只能在非線性現象中，才能找到碎形的蹤跡，碎形幾何已經變成了主要能描述大自然的幾何學了。

               碎形是一種幾何形狀，它的基本特徵是「無窮的結構」，碎形圖案的每一個地方都有彎曲起伏，若把碎形圖案的任何小區域放大來看，仍然會看到盤根錯結的圖案。 一般認為，碎形幾何學是法國數學家曼得布洛特 (Benoit Mandelbrot) 於1975， 在一篇幾乎算是他思想轉捩點的論文中 ，如此地發問：「英國的海岸線有多長？」，發展出的新維度觀念。如圖所示，取的參考點不同時，有不同的結果，他認為這種誤差是使用不同長度的量尺所導致的，如果量尺的長度無限的縮小，海岸線就變成無限長。實際上海岸線長度當然是有限長的；但是在數學中的海岸線，長度就是無限的，面積卻是有限值。

              在曼得布洛特之前的兩、三百年就有人提出了類似碎形的概念。17 世紀時，數學家兼哲學家萊布尼茨思考過遞迴的自相似問題，已有的工作也模糊不清，主要的原因是人們對不熟悉新興概念的牴觸，這些概念有時被稱為數學「異類」。1890年，義大利數學家朱塞佩·皮亞諾（Giuseppe Peano）發明能填滿一個正方形的曲線，叫做皮亞諾曲線，開啟了近代碎形理論的濫觴。

                碎形發展的一個里程碑在 1904 年，海里格·馮·科赫，給出了更加幾何化的定義，並附上了一個類似函數的手繪圖形，今天稱之為科赫雪花。

               另一個里程碑是，瓦茨瓦夫·謝爾賓斯基在1905 年，構造出了謝爾賓斯基三角形，它的做法如下；取一個實心的三角形。沿三邊中點的連線，將它分成四個小三角形。去掉中間的那一個小三角形。對其餘三個小三角形重複前面步驟。隔年，又造出了謝爾賓斯基地毯，它的做法如下；將一個實心正方形劃分為3X3的9個小正方形，去掉中間的小正方形，再對餘下的小正方形重複這一操作便能得到謝爾賓斯基地毯。將謝爾賓斯基地毯立體化就得到了門格海綿。

                 隨著碎形理論的發展，各式各樣的碎形也被發表出來，典型的碎形有十多種，除了上述的皮亞諾曲線、科赫雪花及謝爾賓斯基三角形及謝爾賓斯基地毯之外，圖示了幾種碎形，以供參考。

                碎形理論中重要的觀念之一是：遞迴的自我相似。很多的學者都以圖像化來表示，但是在以前僅限於手繪，很難將細部忠實表現出來，但是近代電腦的進展，幾乎可以將自我相似做無限次的遞迴，解決了上述的問題。很多的藝術家依照碎形理論創立了所謂的「碎形藝術」，剛開始時是如何用碎形來描述自然界的花、草、樹木等，而後發表了許多跳脫自然界物種的藝術創作。

               吳老師是少數的將碎形理論用立體實物來呈現的藝術家，碎形中最有名的謝爾賓斯基三角形、謝爾賓斯基地毯和門格海綿等碎形，都被吳老師融入作品當中。典型的碎形有十多種，也可以在吳老師作品中看到其蹤影。

         在最前面曾經提到，「黃金分割率」是我最先學到判斷美的基準。本來「黃金分割率」是屬於數學領域的一個專有名詞，即將一條線分成兩部分，較長的一段與較短的一段之比等於全長與較長的一段之比，它們的比例大約是1.618:1。後來人發現，很多自然界的動物和植物的外觀也呈現此種比例，同樣的情況用在人體身上也有許多黃金比例的關聯性元素，包括手指關節、前臂與手掌間的距離、五官呈現的比例、耳朵輪廓和DNA螺旋體結構，按此種比例關係組成的任何事物都表現出其和諧與均衡。所以現今很多工業產品、電子產品、建築物或藝術品均普遍應用「黃金分割率」，展現其實用性與美觀性。

                  與「黃金分割率」關係很深的是費氏數列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55…，若將任一費氏數值除以原本的前一個數字則會得到1.618的黃金比例(即黃金分割)。若以黃金比例作為基礎，我們可設定一個邊長符合黃金比例的黃金矩形並在連接黃金矩形的相對角上畫一個圓弧，即可繪製出一個黃金螺線，黃金螺線一可視為是一個碎形，線條可以無限向外延伸，總是可以得到自我相似圖形。

          黃金螺線在自然界中很常見，鸚鵡螺腔室最為典型，其他像是在圓錐松果外擴的果片、葵花頂端的種子的排列，萌發捲曲的蕨類嫩芽和都能看到類似黃金螺線的螺旋圖案。此外很多的畫作與藝術品都和黃金螺線相吻合。

       吳老師將費氏數列實體化，讓觀眾能親手組合，一探大自然的奧秘與美麗。

後記

     感謝吳老師親自導覽作品，無藏私的將創作理念與技巧傳授與我們，受益良多。接著的實際演練，看到吳老師用小木條熟練的搭出了一個個縮小版的作品，我跟的做都跟不上了，更遑論創作，體會到理論與實作的差距。最難得的是：能與老婆一起玩積木共度了一個愉快的下午。

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藝術素人的理工人「心賞」吳寬瀛之幾何藝術(中) 田園記趣系列(7) 王飛龍 Dragon

         對稱是自然美的象徵，在植物的花、葉及礦物的晶體等物種上有極為精緻的表現。化學分子，本身具有對稱結構的不在少數，經由有序不紊的分子堆集，大都能形成燦爛對稱的晶體。

        探討這些對稱性的數學就是「群論」，成為唸化學者必備的工具之一。學了「群論」，讓我對美的定義增加了「對稱」這個要素，當然也要找一些物件來觀察他們的對稱性及美感。最先找的是比較簡單的立體結構來分析，那就是柏拉圖立體。柏拉圖立體在幾何學中的定義是：各面都是全等的正多邊形、且每一個頂點所接的面數都是一樣的凸多面體。符合這種特性的立體總共只有正四面體、正六面體（立方體）、正八面體、正十二面體及正二十面體5種。它們分屬於Td、Oh、Oh、Ih及Ih點群，這一部分比較專業，僅列出來供大家參考。簡而言之，相同點群的物體具有相同的對稱性，給人有著相類似的美感。

吳老師的作品中，有不少的作品是從柏拉圖立體為基礎發展出來的。

      柏拉圖立體看似簡單，但是如何融會貫通又是另一回事了。最有名的例子就是確立[Co(NH3)6]+3錯離子為正八面體的故事了；當初[Co(NH3)6]+3錯離子剛被合成出來的時候，很多化學家都在推斷它的結構，有的認為是直線型，有的提出了圓圈狀的結構；後來有一位瑞士化學家維爾納，提出了正八面體的結構，即：在錯離子中，Co3+離子位在中心，6個NH3在圍繞著它形成正八面體的結構。他的論述為當時的權威學者所不認同，甚至受到打壓，但是他並不氣餒，提出了更多的反應數據做為佐證，終於讓對方無法再辯駁，他的八面體的結構也得到大家所認同，也因為他確立了正八面體的結構，而獲得了1913年諾貝爾化學獎。

       將柏拉圖立體經過截角、截半或擴邊等操作，可以得到另一種高度對稱、美觀的凸多面體，稱為阿基米德立體。以正立方體為例，經過截角後就成為截角立方體，此為阿基米德立體的一種。

      經過截角、截半或擴邊等操作所得到的凸多面體，擁有兩種或以上的正多邊形的面，且每個頂點的情況相同，稱為半正多面體，阿基米德曾研究出半正多面體共有13種，(其名稱如附圖所示，名稱下所附的數字，代表每個頂點所接鄰的多邊形及其數目) ，所以有人將半正多面體稱作阿基米德立體。因為面是由正多邊形組成的，每個相鄰的正多邊形的邊長相等，故阿基米德立體的邊均有相同長度。

        前面談到的巴克球，C60，的分子的空間結構就屬於其中之一，是由正二十面體經過截角操作而得，稱為截角二十面體。因此可以知道，碳六十分子所屬的對稱性群也是與正二十面體相同的Ih群。

         另外，我以前研究的項目之一是沸石(Zeolite)，沸石其構造骨架以阿基米德立體的截角八面體(稱為sodalite cage, cage為籠狀物之意)為主，圖為A型沸石與Y型沸石。這兩種沸石雖然都以sodalite cage為主體，但是cage與cage之間的聯繫方式卻不相同，在A型沸石中是以cage的4圓環相互聯繫形成骨架，而在Y型沸石中卻以cage的6圓環來相互聯繫。這個結果，A型沸石的入口細孔口徑為8圓環屬於小口徑的沸石，而Y型沸石的入口細孔口徑為12圓環屬於大口徑的沸石。構造上的差異造成了他們的物理化學性質上的不同。

        沸石的結構式為A [ (AlO2)x (SiO2)y] ·n(H2O)，其中：A為Ca、Na、K、Ba、Sr等陽離子。由此可見沸石的骨架是以矽酸鹽鋁為主，而與之結合之水分子顯得較弱，加熱時容易脫離，看起來像水沸騰一般，因此將希臘語zeo(沸騰)及lithos(石頭)合併起來，稱為沸石(zeolites)在1975年，瑞典礦物學家Cronstedt於冰島座火山岩調查時所發現與命名。 沸石的孔洞結構，使其具有很大的內表面積，脫水後因孔道結構的連通和空曠而具有很大的內表面積，巨大的內表面積形成了沸石高效的吸附性能，孔洞口徑的大小可以過濾其他物質的分子，形成了具有分子篩作用。再加上具有離子交換性，可以經過修飾後改變其物性與化性。因此沸石大量使用於石化工業作為催化劑使用，像石油煉製過程中的裂解催化、液壓催化和氫化裂解；用做石油化工中的異構化、重組、烷基化、不均化和轉烷基化反應等催化劑使用。沸石具有獨特的離子交換性、熱穩定性和耐酸性等，亦被廣泛應用於建材、環保、離子交換、日常用品、農牧業、造紙和塑料等領域。  

        之後的研究者繼續將柏拉圖立體變形，形成各式各樣的多面體；其中以星狀多面體最討人喜好，那是將正多面體的每面取消，但在這些面上添加全等的正角錐( 添角，cumulation)，這樣就可以得到相當對稱的多星體(star polyhedron)，圖為對應各種柏拉圖立體的星體。

         以上所敘述的立體，無論是柏拉圖立體、阿基米德立體、星體或其它的變形體，它們的頂點、邊及面呈現出非常美好的對稱性，一般在紙面上都很難將它們表現出來，可是吳老師卻利用他的巧思與巧手，以三維空間的立體方式，以「有秩序的糾纏」系列作品呈現出它們的美，真令人佩服。

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藝術素人的理工人「心賞」吳寬瀛之幾何藝術(上) 田園記趣系列(6) 王飛龍 Dragon

藝術素人的理工人「心賞」吳寬瀛之幾何藝術(上)   

田園記趣系列(6)                    王飛龍 Dragon

                 我的專業是化學、化工，是一個十足的藝術門外漢；然而「窈窕淑女，君子好逑」，遇到美好的人、物，總是會多看上幾眼，但是最初判斷的準則，僅限於中學時候美術老師所教的「黃金分割率」。 

               迄今，我和吳寬瀛老師素昧平生。首次見到吳老師的作品，是前幾年到高雄玩，在新光碼頭看到了永久展示的公共藝術品「高雄509025.6海浬」，它是為了「2001年高雄國際貨櫃節」創作的作品，獲得了文建會第一屆「公共藝術獎」的最佳環境融合獎，雄偉的造型，讓我留下很深的印象。今年(2020)年底，吳老師作品在靜宜大學的藝術中心展出一個月，就近之便，讓我得以一覽吳老師作品的堂奧。

509025.6海浬裝置藝術

攝於靜宜大學藝術中心

                            大概是職業慣性使然，最先吸引我的作品是鑽石結構、奈米碳管和巴克球。這三個作品大致說明了大致說明了神奇的「碳」原子的不同結合方式；單鍵、雙鍵與參鍵。以單鍵結合形成碳鏈的化合物很多，像聚乙烯、聚丙烯等都是。在碳鏈的首或(和)尾具有羧基的，稱為飽和脂肪酸，吃多了對心血管不好。在脂肪酸的碳鏈中含有雙鍵與參鍵者稱為不飽和脂肪酸；其中含有雙鍵的不飽和脂肪酸，若以雙鍵為中點視之，碳鏈成弓狀者稱為順式不飽和脂肪酸，碳鏈成直線的稱為反式不飽和脂肪酸。動物的肉品或乳製品中的脂肪酸多為飽和脂肪酸和順式脂肪酸，雖有反式脂肪酸但含量低；人類食用的反式脂肪酸主要來自經過氫化程序所生產的部份氫化植物油。現代認為人造的反式脂肪酸是比飽和脂肪酸更不健康的脂肪酸。

各種脂肪酸

                最簡單的碳分子是甲烷(CH₄)，碳原子居於中心，四個氫原子結合在四周形成四面體型態，從這個分子的型態我們可明白碳原子單鍵結合的方位，若將氫原子用碳原子取代，則可以形成向四面八方延伸的網狀結構，就形成了人見人愛的鑽石結構，碳原子的空間結構就如同吳老師的作品「鑽石結構」一般。由於碳原子間的鍵結強度與排列的方式，使得鑽石具有璀璨的亮光及最高的硬度。

碳的四面體結構

鑽石結構(吳老師作品)

                 奈米碳管是一種管狀的碳分子集合體，管上由碳原子連結成六元環的蜂巢狀結構，作為奈米碳管的骨架。有了這種結構，才使得奈米碳管具有特殊的物理性質：奈米碳管的硬度與鑽石相當，卻擁有良好的柔韌性可以拉伸，而且奈米碳管的導電率可達銅的1萬倍。碳原子連結成六元環中最簡單的分子是苯(C₆H₆)，這六個碳原子的排列方式曾經困擾了化學家很久，直到1865年德國化學家凱庫勒提出了苯的環狀結構說明了它的特性；碳原子以單鍵、雙鍵輪換方式連結成苯的六元環，如此情況下，碳原子上的電子雲層連結成一體，是奈米碳管具有超高導電率的原因。又因為奈米碳管的骨架類似於鑽石，所以有極高的硬度。

奈米碳管

苯分子結構

                 巴克球，化學家們喜歡稱之為C₆₀，不僅含有六元環還有五元環，也具有特殊的物理性質與化學性質，最值得一提的是：經過金屬摻雜的C₆₀能形成高溫超導體。1970年化學家漢森就提出了C₆₀的分子結構，並用紙製作了一個模型來說明，然而這個模型不夠精細沒接受與發表，直到1999年，《碳》期刊才確認了這個結果。回想起來，當時如果有吳老師的巧手能製作精美的模型，或許化學歷史會被重新改寫。

C60巴克球

                學了工程力學，了解到一個物件要達到力的平衡才能顯出其美感，例如太陽馬戲團的表演是其中一個例子，因此自然地將力的平衡加入了我的審美觀。如前述，吳老師的「高雄509025.6海浬」作品，是由六個漆成紅色的貨櫃組合而成，它們之間達到了力的平衡，才能屹立不搖呈現出了它的力與美。

太陽馬戲團呈現的力與美

                在「走不盡的橋」作品中，用少許的木條，構築出穩定的拱橋，拱形是一種很特別的結構，可以將負載的重量傳遞到兩側，達到力的平衡，同時也具有美學作用。在拱橋中，以構木拱橋為現代橋樑學著所注目，最為經典是在《清明上河圖，1101年，北宋畫家張擇端所繪》中橫跨汴水兩岸的構木拱橋，不用寸釘片鐵，只憑椽靠椽、桁嵌桁，銜接嚴密，就能讓結構穩固，另人稱奇。這個拱橋是何時、何人、如何建造的呢？古文獻裡已經沒有記載。

構木拱橋

  

清明上河圖中的構木拱橋

                  然而在14世紀文藝復興時期的義大利，達文西在金主瓦倫提諾公爵切薩雷·波吉亞的要求下，也曾設計出一種構木拱橋。這個編木拱橋的草圖記錄在 《大西洋古抄本》（Codex Atlanticus）中。近代西方建築師曾經依此草圖架構出編木拱橋，而且依照其力學原理設計出不同的創作。

達文西設計的構木拱橋

構木拱橋的推衍

                                       

構木拱橋的推衍

                                           

         另外，吳老師的作品中，木條與木條的結合都是靠榫卯。榫卯是在兩個木構件上所採用的一種凹凸結合的連接方式，凸出部分叫榫；凹進部分叫卯。榫卯結合也是力的一種表現，要求工藝之精確間不容髮，才能扣合之嚴密，下圖中顯示出幾種最基本的榫卯接法，榫卯隨著時間的演進也變得複雜，常常成為木匠顯現功力的象徵；後來演變出了魯班鎖，更顯現出了這門工藝的巧思，每一個零件都是一個榫卯，從外觀看不出來如何堆積上去的，必須先猜測內部榫卯的形式，然後才可能解開來。看到吳老師的「方柱」作品，可說是集榫卯工藝的大成，由其它木製作品中所見的榫卯、導角等小細節，都可以看出吳老師紮實的木工基礎。

吳老師作品

基本的榫卯接法

                                

各種魯班鎖

                              

              在「平面幾何」的系列作品中，作品以二維空間，平面，呈現出作品，一般人認為比較容易理解與製作，但是我欣賞了這些作品之後，發現它呈現的並不是僅僅是二維空間的幾何圖形，而是四維空間以上的多胞形。多胞形是一類由平的邊界構成的幾何結構，在二維的多胞形為多邊形，三維多胞形為多面體，它也可以延伸到三維以上的空間，例如一般所稱之多胞體即為四維多胞形。四維多胞形的型態本來存在數學想像空間中，但是可經由二維正交線架投影來可視化。如圖所示，正二十四胞體在考克斯特F4群平面下的投影，這投影圖和吳老師的「平面幾何」中的作品非常類似。                             

吳老師「平面幾何」的系列作品

考克斯特F₄群平面下的投影，展現了正二十四胞體(紅點)和它的對偶(綠點)。

(未完  待續)