Dragon's開心農場: 藝術素人的理工人「心賞」吳寬瀛之幾何藝術(下) 田園記趣系列(8) 王飛龍 Dragon

藝術素人欣賞吳寬瀛作品(下) 王飛龍 Dragon

徐志摩在其散文《「數大」便是美》中，感嘆：「……數大便是美」，但引起我注意的是下一段話：「數大了似乎按照著一種自然律，自然的會有一種特別的排列，一種特別的節奏，一種特殊的式樣，激動我們審美的本能，激發我們審美的情緒。」，它描述了自然界中規律的美，似乎和之後所學的，描述大自然的複雜結構的非線性現象的「碎形(fractal)幾何」，相互呼應。自然界裡的雲、山脈、海岸線、閃電、雪片、植物的根、身體的血管分布、多種蔬菜（如花椰菜和西蘭花）和動物的毛皮的圖案等等，這些大自然的外貌、結構是經由非線性動力過程所造成的結果，因為它具有無窮細小的結構，不放大來看，無法知道它的細部形狀，等放大看到了，我們才驚嘆其結構之精巧漂亮，超乎每個人的想像能力，這就是碎形的魅力，我們也只能在非線性現象中，才能找到碎形的蹤跡，碎形幾何已經變成了主要能描述大自然的幾何學了。

碎形是一種幾何形狀，它的基本特徵是「無窮的結構」，碎形圖案的每一個地方都有彎曲起伏，若把碎形圖案的任何小區域放大來看，仍然會看到盤根錯結的圖案。一般認為，碎形幾何學是法國數學家曼得布洛特 (Benoit Mandelbrot) 於1975，在一篇幾乎算是他思想轉捩點的論文中，如此地發問：「英國的海岸線有多長？」，發展出的新維度觀念。如圖所示，取的參考點不同時，有不同的結果，他認為這種誤差是使用不同長度的量尺所導致的，如果量尺的長度無限的縮小，海岸線就變成無限長。實際上海岸線長度當然是有限長的；但是在數學中的海岸線，長度就是無限的，面積卻是有限值。

在曼得布洛特之前的兩、三百年就有人提出了類似碎形的概念。17 世紀時，數學家兼哲學家萊布尼茨思考過遞迴的自相似問題，已有的工作也模糊不清，主要的原因是人們對不熟悉新興概念的牴觸，這些概念有時被稱為數學「異類」。1890年，義大利數學家朱塞佩·皮亞諾（Giuseppe Peano）發明能填滿一個正方形的曲線，叫做皮亞諾曲線，開啟了近代碎形理論的濫觴。

碎形發展的一個里程碑在 1904 年，海里格·馮·科赫，給出了更加幾何化的定義，並附上了一個類似函數的手繪圖形，今天稱之為科赫雪花。

另一個里程碑是，瓦茨瓦夫·謝爾賓斯基在1905 年，構造出了謝爾賓斯基三角形，它的做法如下；取一個實心的三角形。沿三邊中點的連線，將它分成四個小三角形。去掉中間的那一個小三角形。對其餘三個小三角形重複前面步驟。隔年，又造出了謝爾賓斯基地毯，它的做法如下；將一個實心正方形劃分為3X3的9個小正方形，去掉中間的小正方形，再對餘下的小正方形重複這一操作便能得到謝爾賓斯基地毯。將謝爾賓斯基地毯立體化就得到了門格海綿。

隨著碎形理論的發展，各式各樣的碎形也被發表出來，典型的碎形有十多種，除了上述的皮亞諾曲線、科赫雪花及謝爾賓斯基三角形及謝爾賓斯基地毯之外，圖示了幾種碎形，以供參考。

碎形理論中重要的觀念之一是：遞迴的自我相似。很多的學者都以圖像化來表示，但是在以前僅限於手繪，很難將細部忠實表現出來，但是近代電腦的進展，幾乎可以將自我相似做無限次的遞迴，解決了上述的問題。很多的藝術家依照碎形理論創立了所謂的「碎形藝術」，剛開始時是如何用碎形來描述自然界的花、草、樹木等，而後發表了許多跳脫自然界物種的藝術創作。

吳老師是少數的將碎形理論用立體實物來呈現的藝術家，碎形中最有名的謝爾賓斯基三角形、謝爾賓斯基地毯和門格海綿等碎形，都被吳老師融入作品當中。典型的碎形有十多種，也可以在吳老師作品中看到其蹤影。

在最前面曾經提到，「黃金分割率」是我最先學到判斷美的基準。本來「黃金分割率」是屬於數學領域的一個專有名詞，即將一條線分成兩部分，較長的一段與較短的一段之比等於全長與較長的一段之比，它們的比例大約是1.618:1。後來人發現，很多自然界的動物和植物的外觀也呈現此種比例，同樣的情況用在人體身上也有許多黃金比例的關聯性元素，包括手指關節、前臂與手掌間的距離、五官呈現的比例、耳朵輪廓和DNA螺旋體結構，按此種比例關係組成的任何事物都表現出其和諧與均衡。所以現今很多工業產品、電子產品、建築物或藝術品均普遍應用「黃金分割率」，展現其實用性與美觀性。

與「黃金分割率」關係很深的是費氏數列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55…，若將任一費氏數值除以原本的前一個數字則會得到1.618的黃金比例(即黃金分割)。若以黃金比例作為基礎，我們可設定一個邊長符合黃金比例的黃金矩形並在連接黃金矩形的相對角上畫一個圓弧，即可繪製出一個黃金螺線，黃金螺線一可視為是一個碎形，線條可以無限向外延伸，總是可以得到自我相似圖形。